「あしからず」とは、相手の意向に添えない場合や、やむを得ない理由で迷惑をかけてしまうかもしれないことを先に断っておく場合などに「悪く思わないで」や「気を悪くしないで」という意味です。
「あしからずご了承ください」「あしからずご容赦ください」という使い方をします。
気をつけなければならないのは、明らかに自分側のミスで迷惑をかけた場合には不適切な言葉になります。その場合はきちんとした謝罪の言葉でなければいけません。
気を悪くしないで下さい、大目にみて下さいと相手にお願いするようなときに使用します。
「あしからず」と同様な意味で使用する言葉としては、「申し訳ありませんが」「恐れ入りますが」「何卒」などです。